多項式 $x^3 + ax^2 - 4x + 3$ を $x-1$ で割った余りと $x-2$ で割った余りが等しくなるように、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + ax^2 - 4x + 3$ を $x-1$ で割った余りと $x-2$ で割った余りが等しくなるように、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

剰余の定理を用いる。剰余の定理とは、多項式 $P(x)$ を $x-c$ で割ったときの余りは $P(c)$ であるという定理である。

まず、$P(x) = x^3 + ax^2 - 4x + 3$ とおく。

$x-1$ で割った余りは $P(1)$ であり、$x-2$ で割った余りは $P(2)$ である。

問題文より、$P(1) = P(2)$ である。

$P(1)$ を計算すると

$P(1) = (1)^3 + a(1)^2 - 4(1) + 3 = 1 + a - 4 + 3 = a$

$P(2)$ を計算すると

$P(2) = (2)^3 + a(2)^2 - 4(2) + 3 = 8 + 4a - 8 + 3 = 4a + 3$

$P(1) = P(2)$ より

$a = 4a + 3$

$-3a = 3$

$a = -1$

3. 最終的な答え

$a = -1$