与えられた線形方程式系を解き、解を「定ベクトル」+「係数が任意な線形和」の形式で表す。拡大係数行列の簡約化の結果を明記する。具体的には、問題文中の例のように、与えられた連立方程式を行列で表現し、行基本変形によって簡約化された行列を求め、そこから解を求めます。
2025/5/13
1. 問題の内容
与えられた線形方程式系を解き、解を「定ベクトル」+「係数が任意な線形和」の形式で表す。拡大係数行列の簡約化の結果を明記する。具体的には、問題文中の例のように、与えられた連立方程式を行列で表現し、行基本変形によって簡約化された行列を求め、そこから解を求めます。
2. 解き方の手順
問題 (7), (8), (9), (10) について解を求めます。
(7) 変数 に対し、
\begin{cases}
x + 2y = 1 \\
-3x - 6y = -3
\end{cases}
これは、2つ目の式が1つ目の式の-3倍であるため、同じ直線を表しています。
拡大係数行列は
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-3 & -6 & -3
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
なので、とすると、
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1-2c \\ c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c
\begin{pmatrix}
-2 \\ 1
\end{pmatrix}
(8) 変数 に対し、
\begin{cases}
x + 2y = 1 \\
-3x - 6y = -2
\end{cases}
拡大係数行列は
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
-3 & -6 & -2
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
最後の行は を意味するので、解なし。
(9) 変数 に対し、
\begin{cases}
x + 2y + 3z = -1 \\
2x + 2z = 2 \\
-x + y = -2
\end{cases}
拡大係数行列は
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & -1 \\
2 & 0 & 2 & 2 \\
-1 & 1 & 0 & -2
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & -1 \\
0 & -4 & -4 & 4 \\
0 & 3 & 3 & -3
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & -1 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
, なので、とすると、
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1-c \\ -1-c \\ c
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c
\begin{pmatrix}
-1 \\ -1 \\ 1
\end{pmatrix}
(10) 変数 に対し、
\begin{cases}
4x - 8y + z + 5w = -2 \\
x - 2y + 2z + 3w = 3 \\
-3x + 6y + z - 2w = 5
\end{cases}
拡大係数行列は
\begin{pmatrix}
4 & -8 & 1 & 5 & -2 \\
1 & -2 & 2 & 3 & 3 \\
-3 & 6 & 1 & -2 & 5
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 2 & 3 & 3 \\
4 & -8 & 1 & 5 & -2 \\
-3 & 6 & 1 & -2 & 5
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 2 & 3 & 3 \\
0 & 0 & -7 & -7 & -14 \\
0 & 0 & 7 & 7 & 14
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 2 & 3 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
, なので、, とすると、
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z \\ w
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 + 2c - d \\ c \\ 2 - d \\ d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 \\ 0 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+ d
\begin{pmatrix}
-1 \\ 0 \\ -1 \\ 1
\end{pmatrix}
3. 最終的な答え
(7)
\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c
\begin{pmatrix}
-2 \\ 1
\end{pmatrix}
(8) 解なし
(9)
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c
\begin{pmatrix}
-1 \\ -1 \\ 1
\end{pmatrix}
(10)
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z \\ w
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 \\ 0 \\ 2 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c
\begin{pmatrix}
2 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+ d
\begin{pmatrix}
-1 \\ 0 \\ -1 \\ 1
\end{pmatrix}