与えられた連立一次方程式を解き、解を「(定ベクトル) + (何本かのベクトルの、係数が任意な線形和)」の形式で表す。拡大係数行列の簡約化の結果を必ず明記する。ここでは問題(7)と(9)を解く。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、解を「(定ベクトル) + (何本かのベクトルの、係数が任意な線形和)」の形式で表す。拡大係数行列の簡約化の結果を必ず明記する。ここでは問題(7)と(9)を解く。

2. 解き方の手順

**(7) 変数 x, y に対し、 $\begin{cases} x + 2y = 1 \\ -3x - 6y = -3 \end{cases}$**

* **拡大係数行列を作成し、簡約化する:**

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -3 & -6 & -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 + 3R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

* **連立方程式を解く:**

簡約化された行列から、$x + 2y = 1$となる。 $y$ を任意の値 $t$ とすると、$x = 1 - 2t$となる。

* **解をベクトル形式で表現する:**

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

**(9) 変数 x, y, z に対し、 $\begin{cases} x + 2y + 3z = -1 \\ 2x + 2z = 2 \\ -x + y = -2 \end{cases}$**

* **拡大係数行列を作成し、簡約化する:**

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & -4 & -4 & 4 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 + R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & -4 & -4 & 4 \\ 0 & 3 & 3 & -3 \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{-\frac{1}{4}R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 3 & -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - 3R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - 2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

* **連立方程式を解く:**

簡約化された行列から、$x + z = 1$、 $y + z = -1$となる。$z$ を任意の値 $t$ とすると、$x = 1 - t$、$y = -1 - t$となる。

* **解をベクトル形式で表現する:**

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - t \\ -1 - t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

**(7) の答え:**

解 = $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ ($t$: 任意)

**(9) の答え:**

解 = $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ($t$: 任意)