与えられた二つの不等式の表す領域を、$xy$平面に図示する問題です。 (1) $|2x + 5y| \le 4$ (2) $|x| + |y+1| \le 2$

1. 問題の内容

与えられた二つの不等式の表す領域を、$xy$平面に図示する問題です。

(1) $|2x + 5y| \le 4$

(2) $|x| + |y+1| \le 2$

2. 解き方の手順

(1) $|2x + 5y| \le 4$

絶対値の不等式を解きます。

$-4 \le 2x + 5y \le 4$

これは二つの不等式で表せます。

$2x + 5y \le 4$　と　$2x + 5y \ge -4$

それぞれを変形します。

$5y \le -2x + 4$　より　$y \le -\frac{2}{5}x + \frac{4}{5}$

$5y \ge -2x - 4$　より　$y \ge -\frac{2}{5}x - \frac{4}{5}$

したがって、この領域は二つの直線 $y = -\frac{2}{5}x + \frac{4}{5}$ と $y = -\frac{2}{5}x - \frac{4}{5}$ の間の領域（境界を含む）となります。

(2) $|x| + |y+1| \le 2$

絶対値記号が二つあるので、場合分けをします。

(i) $x \ge 0$ かつ $y+1 \ge 0$ つまり $x \ge 0$ かつ $y \ge -1$ のとき

$x + (y+1) \le 2$

$y \le -x + 1$

$x \ge 0$ かつ $y \ge -1$ かつ $y \le -x + 1$ を満たす領域

(ii) $x < 0$ かつ $y+1 \ge 0$ つまり $x < 0$ かつ $y \ge -1$ のとき

$-x + (y+1) \le 2$

$y \le x + 1$

$x < 0$ かつ $y \ge -1$ かつ $y \le x + 1$ を満たす領域

(iii) $x \ge 0$ かつ $y+1 < 0$ つまり $x \ge 0$ かつ $y < -1$ のとき

$x - (y+1) \le 2$

$-y \le -x + 3$

$y \ge x - 3$

$x \ge 0$ かつ $y < -1$ かつ $y \ge x - 3$ を満たす領域

(iv) $x < 0$ かつ $y+1 < 0$ つまり $x < 0$ かつ $y < -1$ のとき

$-x - (y+1) \le 2$

$-y \le x + 3$

$y \ge -x - 3$

$x < 0$ かつ $y < -1$ かつ $y \ge -x - 3$ を満たす領域

これらの領域を合わせて考えることで、与えられた不等式の表す領域が得られます。これは、4点 $(2, -1), (0, 1), (-2, -1), (0, -3)$ を頂点とする正方形（傾いた正方形）の内部（境界を含む）になります。

3. 最終的な答え

(1) 二つの直線 $y = -\frac{2}{5}x + \frac{4}{5}$ と $y = -\frac{2}{5}x - \frac{4}{5}$ の間の領域（境界を含む）。

(2) 4点 $(2, -1), (0, 1), (-2, -1), (0, -3)$ を頂点とする正方形の内部（境界を含む）。