与えられた3x4行列を簡約化する問題です。最初のステップとして、2行目を$\frac{1}{2}$倍することが指示されています。 $\begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 & -2 \\ 2 & -2 & 4 & 4 \\ 3 & -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3x4行列を簡約化する問題です。最初のステップとして、2行目を$\frac{1}{2}$倍することが指示されています。

$\begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 & -2 \\ 2 & -2 & 4 & 4 \\ 3 & -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

ステップ1: 2行目を$\frac{1}{2}$倍します。

これにより、2行目の各要素が半分になります。

$\begin{pmatrix} -2 & 2 & -3 & -2 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 3 & -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ2: 1行目を、2行目の2倍を足します。

これにより、1行1列目の要素を0にします。

$R_1 \rightarrow R_1 + 2R_2$

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 3 & -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ3: 3行目を、2行目の-3倍を足します。

これにより、3行1列目の要素を0にします。

$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & -5 \end{pmatrix}$

ステップ4: 3行目を、1行目の3倍を足します。

これにより、3行3列目の要素を0にします。

$R_3 \rightarrow R_3 + 3R_1$

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ5: 1行目を、3行目の-2倍を足します。

これにより、1行4列目の要素を0にします。

$R_1 \rightarrow R_1 - 2R_3$

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ6: 2行目を、3行目の-2倍を足します。

これにより、2行4列目の要素を0にします。

$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_3$

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ7: 2行目を、1行目の-2倍を足します。

これにより、2行3列目の要素を0にします。

$R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

ステップ8: 1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$