問題は、次の式を計算して簡単にすることです。 $(a+b)^2(a-b)^2(a^4+a^2b^2+b^4)^2$

1. 問題の内容

問題は、次の式を計算して簡単にすることです。

$(a+b)^2(a-b)^2(a^4+a^2b^2+b^4)^2$

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式を利用します。

$(a+b)^2(a-b)^2 = [(a+b)(a-b)]^2 = (a^2 - b^2)^2$

次に、$(a^2 - b^2)^2$ を展開します。

$(a^2 - b^2)^2 = (a^2)^2 - 2a^2b^2 + (b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

したがって、

$(a+b)^2(a-b)^2(a^4+a^2b^2+b^4)^2 = (a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^4+a^2b^2+b^4)^2$

ここで、$A = a^4 + b^4$ とおくと、

$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = a^4 + 2b^4 -4a^2b^2= A-2a^2b^2$.

また$a^4+a^2b^2+b^4=A+a^2b^2$

与えられた式は、

$(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^4+a^2b^2+b^4)^2 = (A - 2a^2b^2)(A+a^2b^2)^2$

次に、$x = a^2$、$y = b^2$ とおくと、

$(x^2 - 2xy + y^2)(x^2+xy+y^2)^2$

式を次のように整理します。

$(a+b)^2(a-b)^2(a^4+a^2b^2+b^4)^2 = (a^2-b^2)^2(a^4+a^2b^2+b^4)^2 = [(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)]^2$

ここで、$(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4) = (a^2)^3 - (b^2)^3 = a^6 - b^6$ となります。

したがって、

$[(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)]^2 = (a^6 - b^6)^2 = (a^6)^2 - 2a^6b^6 + (b^6)^2 = a^{12} - 2a^6b^6 + b^{12}$

3. 最終的な答え

$a^{12} - 2a^6b^6 + b^{12}$