$\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すために、$\sqrt{a} - \sqrt{b}$ の形に変形することを考えます。

まず、根号の中の式 $2 - \sqrt{3}$ を無理やり $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$ の形に変形することを考えます。

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$ なので、$x + y = 2$ かつ $xy = \frac{3}{4}$ となる $x, y$ を探します。

$x, y$ を解とする二次方程式は $t^2 - 2t + \frac{3}{4} = 0$ です。

この式を4倍して、$4t^2 - 8t + 3 = 0$

因数分解して $(2t - 3)(2t - 1) = 0$ なので、$t = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

したがって、$x = \frac{3}{2}, y = \frac{1}{2}$ とすればよい。

このとき、$\sqrt{x} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ であり、$\sqrt{y} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ である。

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}})^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$