与えられた式 $a^2b + a - b - 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b + a - b - 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を次のようにグループ化します。

$(a^2b + a) - (b + 1)$

次に、最初のグループから $a$ をくくり出します。

$a(ab + 1) - (b + 1)$

さらに式を整理するために、以下のように記述します。

$a(ab + 1) - (1 + b)$

ここで、$ab + 1$ と $1 + b$ は似ていますが、完全には一致していません。

ここで、もう一度グループ化の方法を変えてみます。

$a^2b - b + a - 1$

最初の２つの項から $b$ をくくり出します。

$b(a^2 - 1) + a - 1$

$a^2 - 1$ は $(a - 1)(a + 1)$ と因数分解できます。したがって、

$b(a - 1)(a + 1) + (a - 1)$

ここで、$a - 1$ をくくり出すことができます。

$(a - 1)[b(a + 1) + 1]$

これを展開すると、

$(a - 1)(ab + b + 1)$

3. 最終的な答え

$(a - 1)(ab + b + 1)$