等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答える。 (2) 第15項が22、第45項が112であるとき、初項と公差を求めよ。 (4) 初項が100、第7項が64であるとき、初項と公差を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答える。

(2) 第15項が22、第45項が112であるとき、初項と公差を求めよ。

(4) 初項が100、第7項が64であるとき、初項と公差を求めよ。

2. 解き方の手順

(2)

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。ここで、$a_1$は初項、$d$は公差、$n$は項数である。

問題文より、第15項は22なので、

$a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d = 22$

また、第45項は112なので、

$a_{45} = a_1 + (45-1)d = a_1 + 44d = 112$

2つの式を連立方程式として解く。

$a_1 + 14d = 22$ (1)

$a_1 + 44d = 112$ (2)

(2) - (1)より、

$(a_1 + 44d) - (a_1 + 14d) = 112 - 22$

$30d = 90$

$d = 3$

これを(1)に代入して、

$a_1 + 14(3) = 22$

$a_1 + 42 = 22$

$a_1 = 22 - 42 = -20$

(4)

初項が100なので、$a_1 = 100$

第7項が64なので、$a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d = 64$

$a_1 = 100$を代入すると、

$100 + 6d = 64$

$6d = 64 - 100 = -36$

$d = -6$

3. 最終的な答え

(2) 初項：-20、公差：3

(4) 初項：100、公差：-6