互いに異なる3つの複素数$\alpha, \beta, \gamma$に対して、 $$\gamma^3 - 3\gamma^2\alpha + 3\gamma\alpha^2 - \alpha^3 = -8(\beta^3 - 3\beta^2\alpha + 3\beta\alpha^2 - \alpha^3)$$ が成り立つとき、次の問いに答える。 (1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$の値を求めよ。 (2) 複素数平面上の3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)が同一直線上にないとき、それらを頂点とする$\triangle$ABCはどのような三角形か。

1. 問題の内容

互いに異なる3つの複素数$\alpha, \beta, \gamma$に対して、

$$\gamma^3 - 3\gamma^2\alpha + 3\gamma\alpha^2 - \alpha^3 = -8(\beta^3 - 3\beta^2\alpha + 3\beta\alpha^2 - \alpha^3)$$

が成り立つとき、次の問いに答える。

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$の値を求めよ。

(2) 複素数平面上の3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)が同一直線上にないとき、それらを頂点とする$\triangle$ABCはどのような三角形か。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式は、

$$(\gamma - \alpha)^3 = -8(\beta - \alpha)^3$$

と変形できる。両辺の3乗根をとると、

$$\gamma - \alpha = \sqrt[3]{-8}(\beta - \alpha)$$

$$\gamma - \alpha = -2(\beta - \alpha), -2\omega(\beta - \alpha), -2\omega^2(\beta - \alpha)$$

ここで、$\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$は1の虚立方根である。

したがって、

$$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2, -2\omega, -2\omega^2$$

つまり、

$$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2, -2\left(\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}\right), -2\left(\frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}\right)$$

$$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2, 1 - \sqrt{3}i, 1 + \sqrt{3}i$$

(2)

3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)が同一直線上にないことから、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$は実数ではない。

したがって、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = 1 - \sqrt{3}i$または$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = 1 + \sqrt{3}i$である。

このとき、

$$\left|\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}\right| = |1 \pm \sqrt{3}i| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$$

$$|\gamma - \alpha| = 2|\beta - \alpha|$$

よって、$AC = 2AB$となる。

また、$\arg\left(\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}\right) = \arg(1 \pm \sqrt{3}i) = \pm \frac{\pi}{3}$

したがって、$\angle BAC = \frac{\pi}{3}$または$\angle BAC = -\frac{\pi}{3}$であり、$|\angle BAC| = 60^\circ$である。

ゆえに、$\triangle$ABCは$\angle BAC = 60^\circ$で、$AC = 2AB$を満たす三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2, 1 - \sqrt{3}i, 1 + \sqrt{3}i$

(2) $\angle BAC = 60^\circ$で、$AC = 2AB$を満たす三角形