$\sqrt{3}$ が無理数であることを背理法を用いて証明する。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$ が無理数であることを背理法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}$ が無理数でないと仮定する。つまり、$\sqrt{3}$ は有理数であると仮定する。

(2) $\sqrt{3}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な2つの整数 $m$ と $n$ ($n \neq 0$) を用いて、

$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$ と表すことができる。

(3) 両辺を2乗すると、

$3 = \frac{m^2}{n^2}$

となる。

(4) 両辺に $n^2$ を掛けると、

$3n^2 = m^2$

となる。この式から、$m^2$ は3の倍数であることがわかる。

(5) $m^2$ が3の倍数ならば、$m$ も3の倍数である。したがって、$m = 3k$ ( $k$ は整数) と表すことができる。

(6) $m = 3k$ を $3n^2 = m^2$ に代入すると、

$3n^2 = (3k)^2$

$3n^2 = 9k^2$

となる。

(7) 両辺を3で割ると、

$n^2 = 3k^2$

となる。この式から、$n^2$ は3の倍数であることがわかる。

(8) $n^2$ が3の倍数ならば、$n$ も3の倍数である。

(9) $m$ も $n$ も3の倍数であるということになり、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

(10) したがって、「$\sqrt{3}$ は有理数である」という仮定が誤りである。

(11) したがって、$\sqrt{3}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$ は無理数である。