数直線上を運動する点Pの時刻 $t$ における座標が $x = t^3 - 3t^2 - 9t$ ($t \geq 0$) で表されるとき、$t=1$ における速度 $v$, 速さ $|v|$, 加速度 $\alpha$ を求めます。

1. 問題の内容

数直線上を運動する点Pの時刻 $t$ における座標が $x = t^3 - 3t^2 - 9t$ ($t \geq 0$) で表されるとき、$t=1$ における速度 $v$, 速さ $|v|$, 加速度 $\alpha$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、速度 $v(t)$ を求めます。速度は位置 $x(t)$ を時間 $t$ で微分することで得られます。

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 - 9t) = 3t^2 - 6t - 9$$

次に、$t=1$ における速度 $v(1)$ を計算します。

$$v(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 9 = 3 - 6 - 9 = -12$$

したがって、$t=1$ における速度は $v=-12$ です。

次に、$t=1$ における速さ $|v(1)|$ を計算します。速さは速度の絶対値です。

$$|v(1)| = |-12| = 12$$

したがって、$t=1$ における速さは $|v|=12$ です。

次に、加速度 $\alpha(t)$ を求めます。加速度は速度 $v(t)$ を時間 $t$ で微分することで得られます。

$$\alpha(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t - 9) = 6t - 6$$

次に、$t=1$ における加速度 $\alpha(1)$ を計算します。

$$\alpha(1) = 6(1) - 6 = 6 - 6 = 0$$

したがって、$t=1$ における加速度は $\alpha=0$ です。

3. 最終的な答え

速度 $v = -12$

速さ $|v| = 12$

加速度 $\alpha = 0$