問題は、ベクトル $\vec{e_r}$ の時間微分 $\dot{\vec{e_r}}$ を、$\vec{e_x}$ と $\vec{e_y}$ を用いて表された式から、$\vec{e_r}$ と $\vec{e_\theta}$ を用いて表された式へ変形することです。 与えられた式は以下の通りです。 $\dot{\vec{e_r}} = \dot{\varphi} \sin{\varphi} \vec{e_x} + \dot{\varphi} \cos{\varphi} \vec{e_y}$ $\dot{\vec{e_r}} = - \dot{\varphi} \sin{\varphi} (\cos{\varphi} \vec{e_r} + \sin{\varphi} \vec{e_\theta}) + \dot{\varphi} \cos{\varphi} (- \sin{\varphi} \vec{e_r} + \cos{\varphi} \vec{e_\theta})$

1. 問題の内容

問題は、ベクトル $\vec{e_r}$ の時間微分 $\dot{\vec{e_r}}$ を、$\vec{e_x}$ と $\vec{e_y}$ を用いて表された式から、$\vec{e_r}$ と $\vec{e_\theta}$ を用いて表された式へ変形することです。

与えられた式は以下の通りです。

$\dot{\vec{e_r}} = \dot{\varphi} \sin{\varphi} \vec{e_x} + \dot{\varphi} \cos{\varphi} \vec{e_y}$

$\dot{\vec{e_r}} = - \dot{\varphi} \sin{\varphi} (\cos{\varphi} \vec{e_r} + \sin{\varphi} \vec{e_\theta}) + \dot{\varphi} \cos{\varphi} (- \sin{\varphi} \vec{e_r} + \cos{\varphi} \vec{e_\theta})$

2. 解き方の手順

まず、2つ目の式を展開します。

$\dot{\vec{e_r}} = - \dot{\varphi} \sin{\varphi} \cos{\varphi} \vec{e_r} - \dot{\varphi} \sin^2{\varphi} \vec{e_\theta} - \dot{\varphi} \cos{\varphi} \sin{\varphi} \vec{e_r} + \dot{\varphi} \cos^2{\varphi} \vec{e_\theta}$

次に、$\vec{e_r}$ の項と $\vec{e_\theta}$ の項をまとめます。

$\dot{\vec{e_r}} = (- \dot{\varphi} \sin{\varphi} \cos{\varphi} - \dot{\varphi} \cos{\varphi} \sin{\varphi}) \vec{e_r} + (- \dot{\varphi} \sin^2{\varphi} + \dot{\varphi} \cos^2{\varphi}) \vec{e_\theta}$

$\dot{\vec{e_r}} = (- 2 \dot{\varphi} \sin{\varphi} \cos{\varphi}) \vec{e_r} + \dot{\varphi} (\cos^2{\varphi} - \sin^2{\varphi}) \vec{e_\theta}$

ここで、三角関数の恒等式 $\sin{2\varphi} = 2 \sin{\varphi} \cos{\varphi}$ と $\cos{2\varphi} = \cos^2{\varphi} - \sin^2{\varphi}$ を用いると、

$\dot{\vec{e_r}} = - \dot{\varphi} \sin{2\varphi} \vec{e_r} + \dot{\varphi} \cos{2\varphi} \vec{e_\theta}$

ただし、与えられた問題文から、

$\dot{\vec{e_r}} = - \dot{\varphi} \sin{\varphi} (\cos{\varphi} \vec{e_r} + \sin{\varphi} \vec{e_\theta}) + \dot{\varphi} \cos{\varphi} (- \sin{\varphi} \vec{e_r} + \cos{\varphi} \vec{e_\theta})$

展開すると

$\dot{\vec{e_r}} = - \dot{\varphi} \sin{\varphi} \cos{\varphi} \vec{e_r} - \dot{\varphi} \sin^2{\varphi} \vec{e_\theta} - \dot{\varphi} \sin{\varphi} \cos{\varphi} \vec{e_r} + \dot{\varphi} \cos^2{\varphi} \vec{e_\theta}$

整理すると

$\dot{\vec{e_r}} = -2\dot{\varphi} \sin{\varphi} \cos{\varphi} \vec{e_r} + (\cos^2{\varphi} - \sin^2{\varphi}) \dot{\varphi} \vec{e_\theta}$

$\dot{\vec{e_r}} = \dot{\varphi} \vec{e_\theta}$という関係を求めることが目的であると仮定すると、

$\vec{e_r} = \cos{\varphi} \vec{e_x} + \sin{\varphi} \vec{e_y}$

$\vec{e_\theta} = - \sin{\varphi} \vec{e_x} + \cos{\varphi} \vec{e_y}$

を微分すると

$\dot{\vec{e_r}} = - \dot{\varphi} \sin{\varphi} \vec{e_x} + \dot{\varphi} \cos{\varphi} \vec{e_y} = \dot{\varphi} \vec{e_\theta}$

3. 最終的な答え

$\dot{\vec{e_r}} = \dot{\varphi} \vec{e_\theta}$