横の長さが8、縦の長さが3の長方形の紙がある。この四隅から一辺の長さが $x$ ($0 < x < \frac{3}{2}$) の正方形を切り取り、残りを折り曲げて蓋のない直方体の箱を作る。箱の容積を $V$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $V$ を $x$ を用いて表せ。 (2) $V$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

横の長さが8、縦の長さが3の長方形の紙がある。この四隅から一辺の長さが $x$ ($0 < x < \frac{3}{2}$) の正方形を切り取り、残りを折り曲げて蓋のない直方体の箱を作る。箱の容積を $V$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $V$ を $x$ を用いて表せ。

(2) $V$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直方体の箱の底面の横の長さは $8-2x$、縦の長さは $3-2x$、高さは $x$ となる。

よって、容積 $V$ は以下の式で表される。

$V = x(8-2x)(3-2x)$

$V = x(24 - 16x - 6x + 4x^2)$

$V = x(24 - 22x + 4x^2)$

$V = 4x^3 - 22x^2 + 24x$

(2) $V$ の最大値を求めるために、$V$ を $x$ で微分する。

$V' = 12x^2 - 44x + 24$

$V' = 4(3x^2 - 11x + 6)$

$V' = 4(3x - 2)(x - 3)$

$V' = 0$ となるのは $x = \frac{2}{3}$ または $x = 3$ である。ただし、$0 < x < \frac{3}{2}$ より、$x = 3$ は範囲外なので、$x = \frac{2}{3}$ のみが候補となる。

$V'$ の符号を調べると、$0 < x < \frac{2}{3}$ のとき $V' > 0$ であり、$\frac{2}{3} < x < \frac{3}{2}$ のとき $V' < 0$ である。したがって、$x = \frac{2}{3}$ のとき $V$ は極大かつ最大となる。

$x = \frac{2}{3}$ のときの $V$ の値を求める。

$V = 4(\frac{2}{3})^3 - 22(\frac{2}{3})^2 + 24(\frac{2}{3})$

$V = 4(\frac{8}{27}) - 22(\frac{4}{9}) + 16$

$V = \frac{32}{27} - \frac{88}{9} + 16$

$V = \frac{32}{27} - \frac{264}{27} + \frac{432}{27}$

$V = \frac{200}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $V = 4x^3 - 22x^2 + 24x$

(2) $V$ の最大値は $\frac{200}{27}$