xy座標系の速度成分 $\dot{x}, \dot{y}$ を $r, \varphi, \dot{r}, \dot{\varphi}$ を用いて表し、さらに加速度成分 $\ddot{x}, \ddot{y}$ を $r, \varphi, \dot{r}, \dot{\varphi}, \ddot{r}, \ddot{\varphi}$ を用いて表す。ただし、式(2.3.1)は$x = r\cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$とする。

1. 問題の内容

xy座標系の速度成分 $\dot{x}, \dot{y}$ を $r, \varphi, \dot{r}, \dot{\varphi}$ を用いて表し、さらに加速度成分 $\ddot{x}, \ddot{y}$ を $r, \varphi, \dot{r}, \dot{\varphi}, \ddot{r}, \ddot{\varphi}$ を用いて表す。ただし、式(2.3.1)は$x = r\cos\varphi$, $y = r\sin\varphi$とする。

2. 解き方の手順

(1) まず、$x = r\cos\varphi$と$y = r\sin\varphi$を時間微分して、$\dot{x}$と$\dot{y}$を求める。積の微分公式を用いる。

$\dot{x} = \frac{d}{dt}(r\cos\varphi) = \dot{r}\cos\varphi - r\dot{\varphi}\sin\varphi$

$\dot{y} = \frac{d}{dt}(r\sin\varphi) = \dot{r}\sin\varphi + r\dot{\varphi}\cos\varphi$

(2) 次に、$\dot{x}$と$\dot{y}$をさらに時間微分して、$\ddot{x}$と$\ddot{y}$を求める。ここでも積の微分公式を用いる。

$\ddot{x} = \frac{d}{dt}(\dot{r}\cos\varphi - r\dot{\varphi}\sin\varphi) = \ddot{r}\cos\varphi - \dot{r}\dot{\varphi}\sin\varphi - \dot{r}\dot{\varphi}\sin\varphi - r\ddot{\varphi}\sin\varphi - r\dot{\varphi}^2\cos\varphi$

$\ddot{y} = \frac{d}{dt}(\dot{r}\sin\varphi + r\dot{\varphi}\cos\varphi) = \ddot{r}\sin\varphi + \dot{r}\dot{\varphi}\cos\varphi + \dot{r}\dot{\varphi}\cos\varphi + r\ddot{\varphi}\cos\varphi - r\dot{\varphi}^2\sin\varphi$

これを整理すると、

$\ddot{x} = (\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2)\cos\varphi - (2\dot{r}\dot{\varphi} + r\ddot{\varphi})\sin\varphi$

$\ddot{y} = (\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2)\sin\varphi + (2\dot{r}\dot{\varphi} + r\ddot{\varphi})\cos\varphi$

3. 最終的な答え

$\dot{x} = \dot{r}\cos\varphi - r\dot{\varphi}\sin\varphi$

$\dot{y} = \dot{r}\sin\varphi + r\dot{\varphi}\cos\varphi$

$\ddot{x} = (\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2)\cos\varphi - (2\dot{r}\dot{\varphi} + r\ddot{\varphi})\sin\varphi$

$\ddot{y} = (\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2)\sin\varphi + (2\dot{r}\dot{\varphi} + r\ddot{\varphi})\cos\varphi$