$\dot{e_r}$ を $\dot{\varphi}$ と $e_\varphi$ で表す問題を解きます。$\dot{e_r}$ は $e_r$ の時間微分を表し、$\dot{\varphi}$ は $\varphi$ の時間微分を表します。$e_x$, $e_y$, $e_r$, $e_\varphi$ はそれぞれ単位ベクトルを表します。

1. 問題の内容

$\dot{e_r}$ を $\dot{\varphi}$ と $e_\varphi$ で表す問題を解きます。$\dot{e_r}$ は $e_r$ の時間微分を表し、$\dot{\varphi}$ は $\varphi$ の時間微分を表します。$e_x$, $e_y$, $e_r$, $e_\varphi$ はそれぞれ単位ベクトルを表します。

2. 解き方の手順

まず、$\dot{e_r}$ を定義します。

$\dot{e_r} = \frac{d}{dt} (\cos{\varphi} e_x + \sin{\varphi} e_y)$

次に、時間微分を実行します。$e_x$ と $e_y$ は時間的に変化しないベクトルなので、$\frac{de_x}{dt} = 0$ および $\frac{de_y}{dt} = 0$です。よって、

$\dot{e_r} = -\dot{\varphi} \sin{\varphi} e_x + \dot{\varphi} \cos{\varphi} e_y$

ここで、$e_r$ と $e_\varphi$ を $e_x$ と $e_y$ で表します。

$e_r = \cos{\varphi} e_x + \sin{\varphi} e_y$

$e_\varphi = -\sin{\varphi} e_x + \cos{\varphi} e_y$

したがって、

$e_x = \cos{\varphi} e_r - \sin{\varphi} e_\varphi$

$e_y = \sin{\varphi} e_r + \cos{\varphi} e_\varphi$

これらの関係を $\dot{e_r}$ の式に代入します。

$\dot{e_r} = -\dot{\varphi} \sin{\varphi} (\cos{\varphi} e_r - \sin{\varphi} e_\varphi) + \dot{\varphi} \cos{\varphi} (\sin{\varphi} e_r + \cos{\varphi} e_\varphi)$

$\dot{e_r} = -\dot{\varphi} \sin{\varphi} \cos{\varphi} e_r + \dot{\varphi} \sin^2{\varphi} e_\varphi + \dot{\varphi} \cos{\varphi} \sin{\varphi} e_r + \dot{\varphi} \cos^2{\varphi} e_\varphi$

$\dot{e_r} = \dot{\varphi} (\sin^2{\varphi} + \cos^2{\varphi}) e_\varphi$

三角関数の恒等式 $\sin^2{\varphi} + \cos^2{\varphi} = 1$ を用いると、

$\dot{e_r} = \dot{\varphi} e_\varphi$

3. 最終的な答え

$\dot{e_r} = \dot{\varphi} e_\varphi$