与えられた式 $\dot{e_r} = -\dot{\varphi} \sin{\varphi} e_x + \dot{\varphi} \cos{\varphi} e_y$ を確認する問題です。ここで、$\dot{e_r}$ は $e_r$ の時間微分、$\dot{\varphi}$ は $\varphi$ の時間微分、$e_x$ と $e_y$ はそれぞれx方向とy方向の単位ベクトルを表します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\dot{e_r} = -\dot{\varphi} \sin{\varphi} e_x + \dot{\varphi} \cos{\varphi} e_y$ を確認する問題です。ここで、$\dot{e_r}$ は $e_r$ の時間微分、$\dot{\varphi}$ は $\varphi$ の時間微分、$e_x$ と $e_y$ はそれぞれx方向とy方向の単位ベクトルを表します。

2. 解き方の手順

問題は、式 $\dot{e_r} = -\dot{\varphi} \sin{\varphi} e_x + \dot{\varphi} \cos{\varphi} e_y$ が正しいかどうかを検証するか、またはこの式がどのように導出されたかを理解することにあります。

$e_r$ がどのようなベクトルであるかの情報がありません。もし、$e_r = \cos(\varphi) e_x + \sin(\varphi) e_y$ であれば、時間微分は以下のように計算できます。

$\dot{e_r} = \frac{d}{dt} (\cos(\varphi) e_x + \sin(\varphi) e_y)$

ここで、$e_x$ と $e_y$ は定ベクトルなので時間微分は0になります。連鎖律（chain rule）を使って時間微分を計算します。

$\dot{e_r} = \frac{d}{dt} \cos(\varphi) e_x + \frac{d}{dt} \sin(\varphi) e_y$

$\dot{e_r} = -\dot{\varphi} \sin(\varphi) e_x + \dot{\varphi} \cos(\varphi) e_y$

3. 最終的な答え

$\dot{e_r} = -\dot{\varphi} \sin{\varphi} e_x + \dot{\varphi} \cos{\varphi} e_y$