方程式 $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ を、$x$ が小さい順にすべて求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$ を満たす正の整数の組 $(x, y)$ を、$x$ が小さい順にすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を整理します。

$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$

両辺に $xy$ をかけて分母を払うと、

$2y + 3x = xy$

これを変形して、$xy - 3x - 2y = 0$

さらに変形して、$(x - 2)(y - 3) = 6$

$x$ と $y$ は正の整数なので、$x - 2$ と $y - 3$ はともに整数です。

また、$x > 0$ なので、$x - 2 > -2$ であり、$y > 0$ なので、$y - 3 > -3$ です。

$(x - 2)(y - 3) = 6$ を満たす整数の組み合わせをすべて求めます。

6の約数は、1, 2, 3, 6 です。

したがって、考えられる組み合わせは次の通りです。

* $x - 2 = 1$ のとき、$y - 3 = 6$ より、$x = 3$, $y = 9$

* $x - 2 = 2$ のとき、$y - 3 = 3$ より、$x = 4$, $y = 6$

* $x - 2 = 3$ のとき、$y - 3 = 2$ より、$x = 5$, $y = 5$

* $x - 2 = 6$ のとき、$y - 3 = 1$ より、$x = 8$, $y = 4$

$x$ が小さい順に並べると、$(3, 9), (4, 6), (5, 5), (8, 4)$ となります。

3. 最終的な答え

$(x, y) = (3, 9), (4, 6), (5, 5), (8, 4)$