(1) 整数 $a$ の平方 $a^2$ が3の倍数ならば、$a$ は3の倍数である。このことを用いて、$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明する。 (2) 次の等式を満たす有理数 $a, b$ の値を求める。 $a-3+(2-b)\sqrt{3}+\sqrt{3}(a-2b\sqrt{3})=0$

1. 問題の内容

(1) 整数 $a$ の平方 $a^2$ が3の倍数ならば、$a$ は3の倍数である。このことを用いて、$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明する。

(2) 次の等式を満たす有理数 $a, b$ の値を求める。

$a-3+(2-b)\sqrt{3}+\sqrt{3}(a-2b\sqrt{3})=0$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}$ が無理数であることの証明

背理法を用いて証明する。$\sqrt{3}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $m, n$ ($n \neq 0$) を用いて、

$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$ と表せる。

両辺を2乗すると、

$3 = \frac{m^2}{n^2}$

$3n^2 = m^2$

この式から、$m^2$ が3の倍数であることがわかる。整数 $a$ の平方 $a^2$ が3の倍数ならば、$a$ は3の倍数であるという条件から、$m$ は3の倍数である。

したがって、$m = 3k$ (kは整数) と表せる。

$3n^2 = (3k)^2$

$3n^2 = 9k^2$

$n^2 = 3k^2$

この式から、$n^2$ が3の倍数であることがわかる。したがって、$n$ は3の倍数である。

$m$ と $n$ はともに3の倍数であることになり、これは $m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

したがって、$\sqrt{3}$ は無理数である。

(2) $a-3+(2-b)\sqrt{3}+\sqrt{3}(a-2b\sqrt{3})=0$ の計算

与えられた式を整理する。

$a - 3 + (2 - b)\sqrt{3} + a\sqrt{3} - 2b(\sqrt{3})^2 = 0$

$a - 3 + (2 - b)\sqrt{3} + a\sqrt{3} - 6b = 0$

$(a - 3 - 6b) + (2 - b + a)\sqrt{3} = 0$

$a, b$ は有理数であり、$\sqrt{3}$ は無理数であるから、

$a - 3 - 6b = 0$

$2 - b + a = 0$

これらの連立方程式を解く。

$a - 6b = 3$

$a - b = -2$

上の式から下の式を引くと、

$-5b = 5$

$b = -1$

$a - (-1) = -2$

$a = -3$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}$ は無理数である。（証明終わり）

(2) $a = -3, b = -1$