(1) 20の倍数で、正の約数の個数が10個である自然数 $n$ を求めよ。 (2) 300以下の自然数のうち、正の約数の個数が9個である数をすべて求めよ。

数論約数素因数分解倍数
2025/5/13

1. 問題の内容

(1) 20の倍数で、正の約数の個数が10個である自然数 nn を求めよ。
(2) 300以下の自然数のうち、正の約数の個数が9個である数をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1)
自然数 nn の約数の個数が10個であるとき、nn は素数 p,qp, q を用いて
n=p9n = p^9 または n=p4qn = p^4 q
と表せる。
nn は20の倍数なので、nn22×52^2 \times 5 の倍数である。
n=p9n = p^9 の場合、 nn は2と5を素因数に持つ必要があるが、素因数の個数が9個であるため、これは不可能。
n=p4qn = p^4 q の場合、
(i) p=2,q=5p=2, q=5 のとき、n=24×5=80n=2^4 \times 5 = 80。これは20の倍数である。
(ii) p=5,q=2p=5, q=2 のとき、n=54×2=1250n=5^4 \times 2 = 1250。これは20の倍数ではない。
(iii) p=2p=2 のとき、 n=24q=16qn = 2^4 q = 16q。これが20の倍数となるには、qq は5の倍数である必要がある。q=5q=5 はすでに検討済みなので、q=5rq=5r (rr は素数) となる。n=16(5r)=80rn = 16(5r) = 80r
nn22×52^2 \times 5 の倍数となるためには p=2,q=5p=2, q=5 となる必要がある。n=24×5=80n = 2^4 \times 5 = 80
また、n=54×2=1250n=5^4 \times 2 = 1250 は20の倍数ではない。
したがって、n=80n = 80
(2)
自然数 mm の約数の個数が9個であるとき、mm は素数 p,qp, q を用いて
m=p8m = p^8 または m=p2q2m = p^2 q^2
と表せる。
m=p8m = p^8 の場合、300以下の数で考えると、
28=256<3002^8 = 256 < 300, 38=6561>3003^8 = 6561 > 300
m=256m=256
m=p2q2=(pq)2m = p^2 q^2 = (pq)^2 の場合、
m=x2m = x^2 となる (x=pqx = pq)。
300m=x2300 \geq m = x^2 なので、x30017.3x \leq \sqrt{300} \approx 17.3
xx は相異なる素数の積なので、xx は次の値を取りうる。
2×3=6,m=362 \times 3 = 6, m = 36
2×5=10,m=1002 \times 5 = 10, m = 100
2×7=14,m=1962 \times 7 = 14, m = 196
2×11=22,m=484>3002 \times 11 = 22, m = 484 > 300
3×5=15,m=2253 \times 5 = 15, m = 225
3×7=21,m=441>3003 \times 7 = 21, m = 441 > 300
5×7=35,m=1225>3005 \times 7 = 35, m = 1225 > 300
よって、m=36,100,196,225m = 36, 100, 196, 225
したがって、m=36,100,196,225,256m=36, 100, 196, 225, 256

3. 最終的な答え

(1) n=80n=80
(2) 36,100,196,225,25636, 100, 196, 225, 256

「数論」の関連問題

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられ、それらに共通して現れる数を小さい順に並べた数列 $\{c_n\}$ を考える問題です。特に、$\{c_n\}$ の一般項を求め、$\sum...

数列等比数列剰余共通項不等式
2025/7/25

9で割ると余りが1になる数と、9で割ると余りが2になる数の和が3の倍数になることを説明する問題です。空欄 $b$ に当てはまる数を求めます。

整数の性質剰余倍数合同式
2025/7/25

問題文は、「9 で割ると余りが 1 になる数と、9 で割ると余りが 2 になる数の和は 3 の倍数になること」を説明する穴埋め問題です。空欄 $a$ に入る数式を求めます。

整数の性質合同算術剰余倍数
2025/7/25

6で割ると1余る数と、6で割ると2余る数の和が3の倍数になることを説明する問題で、空欄 $b$ に当てはまる数を求める。

整数の性質剰余因数分解倍数
2025/7/25

問題1:整数$a$を7で割ると3余り、整数$b$を7で割ると4余るとき、$ab$を7で割った余りを求める。 問題2:1次不定方程式$2x - 7y = 1$を満たす整数$x, y$の中で、$y$が最大...

合同算不定方程式整数問題剰余
2025/7/25

1以上10以下の整数 $a, b, c, d, e, f, g, h, i, j$ が以下の条件を満たすとき、指定された条件を満たす $a$ から $j$ の組を求める問題です。 * $1 \le a...

整数の性質組み合わせ
2025/7/25

$2023 = 7 \times 17 \times 17$ であるとき、2023を割り切ることができる自然数の中で、2023の次に大きな自然数を求める問題です。

約数素因数分解整数の性質
2025/7/25

3桁の正の整数において、百の位の数と一の位の数の和が十の位の数になっている数は、11の倍数であることを、百の位の数を$a$、一の位の数を$b$として説明する。

整数の性質倍数代数
2025/7/25

19以下の素数の集合を全体集合とする。 $A = \{n | n \text{ は4で割ると1余る素数} \}$ $B = \{n | n \text{ は6で割ると1余る素数} \}$ とする。 集...

素数集合集合の共通部分集合の和集合
2025/7/25

$n$を整数とする。$\frac{n^2 + 2}{2n + 1}$ が整数となるような $n$ をすべて求めよ。

整数の性質約数分数
2025/7/25