1. 問題の内容
(1) 20の倍数で、正の約数の個数が10個である自然数 を求めよ。
(2) 300以下の自然数のうち、正の約数の個数が9個である数をすべて求めよ。
2. 解き方の手順
(1)
自然数 の約数の個数が10個であるとき、 は素数 を用いて
または
と表せる。
は20の倍数なので、 は の倍数である。
の場合、 は2と5を素因数に持つ必要があるが、素因数の個数が9個であるため、これは不可能。
の場合、
(i) のとき、。これは20の倍数である。
(ii) のとき、。これは20の倍数ではない。
(iii) のとき、 。これが20の倍数となるには、 は5の倍数である必要がある。 はすでに検討済みなので、 ( は素数) となる。。
が の倍数となるためには となる必要がある。
また、 は20の倍数ではない。
したがって、。
(2)
自然数 の約数の個数が9個であるとき、 は素数 を用いて
または
と表せる。
の場合、300以下の数で考えると、
,
の場合、
となる ()。
なので、
は相異なる素数の積なので、 は次の値を取りうる。
よって、
したがって、
3. 最終的な答え
(1)
(2)