以下の3つの定積分を計算します。 (1) $\int_1^3 \frac{1}{y^3} dy$ (2) $\int_0^1 e^{-x} dx$ (3) $\int_1^{\frac{e+2}{3}} \frac{1}{3x-2} dx$

はい、承知いたしました。画像に写っている定積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの定積分を計算します。

(1) $\int_1^3 \frac{1}{y^3} dy$

(2) $\int_0^1 e^{-x} dx$

(3) $\int_1^{\frac{e+2}{3}} \frac{1}{3x-2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_1^3 \frac{1}{y^3} dy$ の計算

まず、$\frac{1}{y^3} = y^{-3}$ なので、積分を計算します。

$\int y^{-3} dy = \frac{y^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2y^2} + C$

定積分を計算します。

$\int_1^3 \frac{1}{y^3} dy = \left[ -\frac{1}{2y^2} \right]_1^3 = -\frac{1}{2(3^2)} - \left( -\frac{1}{2(1^2)} \right) = -\frac{1}{18} + \frac{1}{2} = \frac{-1+9}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

(2) $\int_0^1 e^{-x} dx$ の計算

$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$

定積分を計算します。

$\int_0^1 e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^1 = -e^{-1} - (-e^{-0}) = -e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e} = \frac{e-1}{e}$

したがって、

$-\frac{e-1}{e} = -\frac{1}{e}$となりますから、アにはe-1が入ります。

(3) $\int_1^{\frac{e+2}{3}} \frac{1}{3x-2} dx$ の計算

$u = 3x-2$ と置換すると、$du = 3dx$ なので、$dx = \frac{1}{3}du$ となります。

$x=1$ のとき、$u = 3(1) - 2 = 1$

$x=\frac{e+2}{3}$ のとき、$u = 3(\frac{e+2}{3}) - 2 = e+2-2 = e$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_1^{\frac{e+2}{3}} \frac{1}{3x-2} dx = \int_1^e \frac{1}{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_1^e \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \left[ \ln |u| \right]_1^e = \frac{1}{3} (\ln e - \ln 1) = \frac{1}{3} (1 - 0) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{9}$

(2) $\frac{e-1}{e}$

(3) $\frac{1}{3}$