次の条件を満たす自然数 $n$ を求めます。 (1) $n, 12, 20$ の最大公約数が 4、最小公倍数が 180 (2) $n, 125, 175$ の最大公約数が 25、最小公倍数が 3500

1. 問題の内容

次の条件を満たす自然数 $n$ を求めます。

(1) $n, 12, 20$ の最大公約数が 4、最小公倍数が 180

(2) $n, 125, 175$ の最大公約数が 25、最小公倍数が 3500

2. 解き方の手順

(1)

まず、12 と 20 を素因数分解します。

$12 = 2^2 \times 3$

$20 = 2^2 \times 5$

$n, 12, 20$ の最大公約数が 4 なので、$n$ は $2^2$ を因数に持ち、3 と 5 は因数に持ちません。よって、$n=4k$ （$k$ は 3 と 5 を因数に持たない整数）と表せます。

$n, 12, 20$ の最小公倍数が 180 なので、

$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

$n$ は $3^2=9$ を因数に持つ必要があります。よって $n=4 \times 9 = 36$

$n = 36 = 2^2 \times 3^2$ とすると、

$n, 12, 20$ の最大公約数は $2^2=4$ で、

$n, 12, 20$ の最小公倍数は $2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$ となり、条件を満たします。

(2)

まず、125 と 175 を素因数分解します。

$125 = 5^3$

$175 = 5^2 \times 7$

$n, 125, 175$ の最大公約数が 25 なので、$n$ は $5^2$ を因数に持ち、7 は因数に持ちません。よって、$n=25k$ （$k$ は 7 を因数に持たない整数）と表せます。

$n, 125, 175$ の最小公倍数が 3500 なので、

$3500 = 2^2 \times 5^3 \times 7$

$n$ は $2^2=4$ と $5^3$ か $7$ を因数に持つ必要があります。$125 = 5^3$、$175 = 5^2 \times 7$ であるため、$n$は $2^2$ と $7$を因数に持つ必要があります。

よって、$n=25 \times 4 \times 7 / 25 = 28 \times 5^3 / 25$

最小公倍数3500には$5^3$が含まれるので、nが$5^3$を持つ場合は$n=125*28=3500$, 最大公約数が25にならない。

よって、$n = 25 \times 4 \times 7 = 700$

$n = 700 = 2^2 \times 5^2 \times 7$ とすると、

$n, 125, 175$ の最大公約数は $5^2=25$ で、

$n, 125, 175$ の最小公倍数は $2^2 \times 5^3 \times 7 = 3500$ となり、条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $n = 36$

(2) $n = 700$