関数 $f(x) = (x^2 + 2x + 2)^2 - 2a(x^2 + 2x + 2) + a$ の最小値を $n$ とします。 (1) $t = x^2 + 2x + 2$ とするとき、$x$ がすべての実数値をとって変化するとき、$t$ のとり得る値の範囲を求めます。 (2) $n$ を $a$ を用いて表します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (x^2 + 2x + 2)^2 - 2a(x^2 + 2x + 2) + a$ の最小値を $n$ とします。

(1) $t = x^2 + 2x + 2$ とするとき、$x$ がすべての実数値をとって変化するとき、$t$ のとり得る値の範囲を求めます。

(2) $n$ を $a$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1) $t = x^2 + 2x + 2$ について、平方完成を行います。

$t = (x+1)^2 + 1$

$x$ がすべての実数値をとるとき、$(x+1)^2 \ge 0$ であるため、

$t \ge 1$

したがって、$t$ のとり得る値の範囲は $t \ge 1$ です。

(2) $f(x)$ を $t$ を用いて表します。

$f(x) = t^2 - 2at + a$

この関数を $t$ について平方完成します。

$f(x) = (t - a)^2 - a^2 + a$

$f(x)$ は $t = a$ のとき最小値 $-a^2 + a$ をとります。

ただし、$t \ge 1$ であることに注意する必要があります。

場合分けをして考えます。

(i) $a \ge 1$ のとき、 $t = a$ が $t \ge 1$ の範囲に含まれるので、$f(x)$ の最小値は $-a^2 + a$ となります。

よって、$n = -a^2 + a$

(ii) $a < 1$ のとき、$t = a$ が $t \ge 1$ の範囲に含まれないので、$t = 1$ のとき $f(x)$ は最小値をとります。

$t = 1$ のとき、

$f(x) = 1^2 - 2a(1) + a = 1 - 2a + a = 1 - a$

よって、$n = 1 - a$

3. 最終的な答え

(1) $t \ge 1$

(2) $n = \begin{cases} -a^2 + a & (a \ge 1) \\ 1 - a & (a < 1) \end{cases}$