$\frac{2 + 2\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ の分母を有理化したものとして、正しいものを選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

$\frac{2 + 2\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ の分母を有理化したものとして、正しいものを選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役複素数 $2 - \sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2 + 2\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}$

分子を展開します。

$(2 + 2\sqrt{2})(2 - \sqrt{2}) = 2(2) + 2( - \sqrt{2}) + 2\sqrt{2}(2) + 2\sqrt{2}(-\sqrt{2}) = 4 - 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 4 = 2\sqrt{2}$

分母を展開します。

$(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2}) = 2(2) + 2(-\sqrt{2}) + \sqrt{2}(2) + \sqrt{2}(-\sqrt{2}) = 4 - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2 = 2$

または、和と差の積の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ より、$(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2}) = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2$

したがって、

$\frac{(2 + 2\sqrt{2})(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$

よって、(1) が答えです。