定積分 $\int_0^1 e^{-x} dx$ を計算し、その結果を $-\frac{(ア)}{e}(a)(イ)$ の形式で表す問題。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 e^{-x} dx$ を計算し、その結果を $-\frac{(ア)}{e}(a)(イ)$ の形式で表す問題。

2. 解き方の手順

まず、$e^{-x}$ の積分を計算します。$e^{-x}$ の原始関数は $-e^{-x}$ です。

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_0^1 e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^1 = -e^{-1} - (-e^{-0}) = -e^{-1} + e^0 = -e^{-1} + 1 = -\frac{1}{e} + 1 = \frac{-1 + e}{e} = \frac{e-1}{e}$

次に、この結果を問題の形式 $-\frac{(ア)}{e}(a)(イ)$ に合わせます。

$\frac{e-1}{e} = -\frac{1-e}{e} = -\frac{(1-e)}{e}(1)$

したがって、$ア$ は $1-e$, $a$ は存在せず、$イ$ は $1$ となります。しかし、求めたいのは (ア) の部分の数字なので、$ア$ は $e-1$ です。

よって、求める数は $e - 1$ であり、問題の形式に合わせると、

$\int_0^1 e^{-x}dx = \frac{e-1}{e} = - \frac{1-e}{e}$

したがって、$ア = e-1$。

3. 最終的な答え

ア: e-1