与えられた式を因数分解してください。与えられた式は $2x^2-x+1/2$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解してください。与えられた式は $2x^2-x+1/2$ です。

2. 解き方の手順

与えられた式 $2x^2 - x + \frac{1}{2}$ を因数分解します。

まず、式全体を$2$でくくります。

$2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4})$

次に、括弧の中身が完全平方式になるようにします。

$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = (x - \frac{1}{4})^2 + \frac{3}{16}$

これは完全平方式にならないため、別の方法を試します。

元の式を$2$でくくったままにします。

$2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4})$

$2(x - \frac{1}{2})^2$

与えられた式は$2x^2-x+1/2$ です。$2$でくくると

$2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4})$

ここで、$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$は$(x - \frac{1}{2})$の二乗にはなりません。

$2x^2 - x + \frac{1}{2} = 2(x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{4})$ になるようにする必要があります。

$2x^2 - x + \frac{1}{2} = (ax+b)(cx+d)$ とおいて、係数を比較します。

$x^2$の係数より、$ac = 2$

定数項より、$bd = \frac{1}{2}$

$x$の係数より、$ad+bc = -1$

$a = \sqrt{2}, c = \sqrt{2}, b = \frac{1}{\sqrt{2}}, d = \frac{1}{\sqrt{2}}$とすると、

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1+1 = 2$となりうまくいきません。

$a=\sqrt{2}, c = \sqrt{2}$とすると、$ac = 2$は満たされます。

$(\sqrt{2}x + b)(\sqrt{2}x + d) = 2x^2 + (b\sqrt{2} + d\sqrt{2})x + bd$

$2x^2 + \sqrt{2}(b+d)x + bd$

したがって$\sqrt{2}(b+d) = -1$ and $bd = \frac{1}{2}$

$b+d = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$d = -\frac{1}{\sqrt{2}} - b$

$b(-\frac{1}{\sqrt{2}}-b) = \frac{1}{2}$

$-\frac{b}{\sqrt{2}} - b^2 = \frac{1}{2}$

$b^2 + \frac{b}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} = 0$

$b = \frac{-\frac{1}{\sqrt{2}} \pm \sqrt{\frac{1}{2}-2}}{2}$

$b = \frac{-\frac{1}{\sqrt{2}} \pm \sqrt{\frac{-3}{2}}}{2}$

複素数になるので、この問題には実数解はありません。

$2x^2 - x + \frac{1}{2} = 0$ とおいて解の公式を使うと

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(\frac{1}{2})}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{4} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

因数分解できません。