(1) 2次方程式 $x^2 - (k-1)x + k = 0$ の2つの解の比が $2:3$ となるとき、定数 $k$ の値を求めよ。 (2) $x$ の2次方程式 $x^2 - 2kx + k = 0$ ($k$ は定数) が異なる2つの解 $\alpha, \alpha^2$ をもつとき、$\alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 - (k-1)x + k = 0$ の2つの解の比が $2:3$ となるとき、定数 $k$ の値を求めよ。

(2) $x$ の2次方程式 $x^2 - 2kx + k = 0$ ($k$ は定数) が異なる2つの解 $\alpha, \alpha^2$ をもつとき、$\alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2つの解の比が $2:3$ なので、解を $2\beta$, $3\beta$ とおく。

解と係数の関係より、

$2\beta + 3\beta = k-1$

$2\beta \cdot 3\beta = k$

これらの式から $\beta$ を消去して $k$ を求める。

$5\beta = k - 1$ より $\beta = \frac{k-1}{5}$

$6\beta^2 = k$ に代入して、

$6(\frac{k-1}{5})^2 = k$

$6(k-1)^2 = 25k$

$6(k^2 - 2k + 1) = 25k$

$6k^2 - 12k + 6 = 25k$

$6k^2 - 37k + 6 = 0$

$(6k-1)(k-6)=0$

$k = \frac{1}{6}, 6$

(2) $\alpha$ と $\alpha^2$ は $x^2 - 2kx + k = 0$ の異なる2つの解なので、解と係数の関係より、

$\alpha + \alpha^2 = 2k$

$\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = k$

この2式から $k$ を消去する。

$\alpha + \alpha^2 = 2\alpha^3$

$\alpha^3 - \frac{1}{2}\alpha^2 - \frac{1}{2}\alpha = 0$

$\alpha(\alpha^2 - \frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{2}) = 0$

$\alpha = 0$ または $\alpha^2 - \frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{2} = 0$

$\alpha = 0$ のとき、$k = \alpha^3 = 0$ となる。このとき、2次方程式は $x^2 = 0$ となり、解は $x=0$ の重解になる。これは異なる2つの解を持つという条件に反するので、$\alpha \ne 0$。

したがって、$\alpha^2 - \frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{2} = 0$

$2\alpha^2 - \alpha - 1 = 0$

$(2\alpha + 1)(\alpha - 1) = 0$

$\alpha = -\frac{1}{2}, 1$

$\alpha = 1$ のとき、$k = \alpha^3 = 1$ となり、$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ となるので、解は $x=1$ の重解。これは異なる2つの解を持つという条件に反する。

したがって、$\alpha = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $k = \frac{1}{6}, 6$

(2) $\alpha = -\frac{1}{2}$