与えられた4つの式を因数分解する際に、どの公式を使えばよいか、またその理由を答える問題です。 (1) $x^2 - 16$ (2) $x^2 + 8x + 16$ (3) $x^2 - 8x + 16$ (4) $x^2 - 10x + 16$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解する際に、どの公式を使えばよいか、またその理由を答える問題です。

(1) $x^2 - 16$

(2) $x^2 + 8x + 16$

(3) $x^2 - 8x + 16$

(4) $x^2 - 10x + 16$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 16$ は、2乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を利用します。$16 = 4^2$ なので、$x^2 - 16 = x^2 - 4^2$ となり、$a = x$, $b = 4$ を当てはめると、$(x + 4)(x - 4)$ と因数分解できます。

(2) $x^2 + 8x + 16$ は、平方完成の公式 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を利用します。$x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2$ となり、$a = x$, $b = 4$ を当てはめると、$(x + 4)^2$ と因数分解できます。

(3) $x^2 - 8x + 16$ は、平方完成の公式 $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を利用します。$x^2 - 8x + 16 = x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2$ となり、$a = x$, $b = 4$ を当てはめると、$(x - 4)^2$ と因数分解できます。

(4) $x^2 - 10x + 16$ は、 $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ の公式を利用します。$a + b = -10$ かつ $ab = 16$ となる $a$ と $b$ を探すと、$a = -2$ と $b = -8$ が見つかります。したがって、$x^2 - 10x + 16 = (x - 2)(x - 8)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$ （2乗の差の公式）

(2) $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$ （平方完成の公式）

(3) $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$ （平方完成の公式）

(4) $x^2 - 10x + 16 = (x - 2)(x - 8)$ （$(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ の公式）