(1) $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 (2) $y = \sqrt{x}$ ($x \ge 0$), $y = 2$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

(2) $y = \sqrt{x}$ ($x \ge 0$), $y = 2$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin x$ は $0 \le x \le \pi$ で $x$ 軸より上にあるので、面積 $S$ は積分で計算できる。

$S = \int_{0}^{\pi} \sin x dx$

$\sin x$ の不定積分は $-\cos x$ なので、

$S = [-\cos x]_{0}^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

(2) $y = \sqrt{x}$ を $x$ について解くと $x = y^2$ となる。$y = 2$ のとき $x = 2^2 = 4$ である。

$y = \sqrt{x}$ と $y = 2$ と $y$ 軸で囲まれた部分の面積は、$x = y^2$ を $y = 0$ から $y = 2$ まで積分することで求められる。

$S = \int_{0}^{2} y^2 dy$

$y^2$ の不定積分は $\frac{1}{3}y^3$ なので、

$S = [\frac{1}{3}y^3]_{0}^{2} = \frac{1}{3}(2^3) - \frac{1}{3}(0^3) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $S = 2$

(2) $S = \frac{8}{3}$