与えられた3つの不定方程式について、自然数解（$x, y, z$ がすべて正の整数となる解）をすべて求める問題です。 (1) $x + 3y + 5z = 15$ (2) $2x + 7y + 3z = 26$ (3) $4x + 3y + 3z = 18$

1. 問題の内容

与えられた3つの不定方程式について、自然数解（$x, y, z$ がすべて正の整数となる解）をすべて求める問題です。

(1) $x + 3y + 5z = 15$

(2) $2x + 7y + 3z = 26$

(3) $4x + 3y + 3z = 18$

2. 解き方の手順

(1) $x + 3y + 5z = 15$

まず、$z$ の値を絞ります。$x, y, z$ は自然数なので、$z \ge 1$ です。もし $z \ge 3$ なら、$5z \ge 15$ となり、$x+3y+5z \ge 15$ ですが、$x,y$は正の整数なので、$x+3y+5z>15$となり、$x+3y+5z=15$を満たさないため矛盾します。よって、$z$ は 1 または 2 です。

* $z = 1$ のとき、$x + 3y + 5 = 15$ より $x + 3y = 10$。$y$ の値を絞ります。$y \ge 1$ なので、$y=1,2,3$のいずれかです。

* $y = 1$ のとき、$x = 7$

* $y = 2$ のとき、$x = 4$

* $y = 3$ のとき、$x = 1$

* $z = 2$ のとき、$x + 3y + 10 = 15$ より $x + 3y = 5$。$y$ の値を絞ります。$y \ge 1$ なので、$y=1$だけです。

* $y = 1$ のとき、$x = 2$

(2) $2x + 7y + 3z = 26$

まず、$y$ の値を絞ります。$y \ge 1$ です。もし $y \ge 4$ なら、$7y \ge 28$ となり、$2x+7y+3z \ge 28$ ですが、$x,z$は正の整数なので、$2x+7y+3z>26$となり、$2x+7y+3z=26$を満たさないため矛盾します。よって、$y$ は 1, 2, または 3 です。

* $y = 1$ のとき、$2x + 7 + 3z = 26$ より $2x + 3z = 19$。$z$ の値を絞ります。$z \ge 1$ です。$2x = 19 - 3z$ なので、$19 - 3z$ は正の偶数でなければなりません。$z$ は奇数で、$z=1,3,5$のいずれかです。

* $z = 1$ のとき、$2x = 16$ より $x = 8$

* $z = 3$ のとき、$2x = 10$ より $x = 5$

* $z = 5$ のとき、$2x = 4$ より $x = 2$

* $y = 2$ のとき、$2x + 14 + 3z = 26$ より $2x + 3z = 12$。$z$ の値を絞ります。$z \ge 1$ です。$2x = 12 - 3z$ なので、$12 - 3z$ は正の偶数でなければなりません。$z$ は偶数で、$z=2$のみです。

* $z = 2$ のとき、$2x = 6$ より $x = 3$

* $y = 3$ のとき、$2x + 21 + 3z = 26$ より $2x + 3z = 5$。$z$ の値を絞ります。$z \ge 1$ です。$2x = 5 - 3z$ なので、$5 - 3z$ は正の偶数でなければなりません。$z=1$のみです。

* $z = 1$ のとき、$2x = 2$ より $x = 1$

(3) $4x + 3y + 3z = 18$

$4x+3y+3z=3(y+z)+4x =18$

$y+z=\frac{18-4x}{3} = 6 - \frac{4x}{3}$。

$y,z$ は自然数なので、$y+z > 0$で、$6 - \frac{4x}{3}>0$なので、$x<\frac{18}{4} = 4.5$なので、$x=1,2,3,4$ のいずれかです。かつ、$x$ は3の倍数でなければなりません。ゆえに、$x=3$のみです。

* $x = 3$ のとき、$12 + 3y + 3z = 18$ より $3y + 3z = 6$ つまり $y + z = 2$。$y, z$ は自然数なので、$y = 1$ のとき $z = 1$。

3. 最終的な答え

(1)

$(x, y, z) = (7, 1, 1), (4, 2, 1), (1, 3, 1), (2, 1, 2)$

(2)

$(x, y, z) = (8, 1, 1), (5, 1, 3), (2, 1, 5), (3, 2, 2), (1, 3, 1)$

(3)

$(x, y, z) = (3, 1, 1)$