(1) $(2x-y-5z)^6$ の展開式における $x^2y^3z$ の係数を求めよ。 (2) $(a+b+c+d)^8$ の展開式における $a^3bc^2d^2$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(2x-y-5z)^6$ の展開式における $x^2y^3z$ の係数を求めよ。

(2) $(a+b+c+d)^8$ の展開式における $a^3bc^2d^2$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 多項定理より、$(2x-y-5z)^6$ の展開式における一般項は

$$\frac{6!}{p!q!r!}(2x)^p(-y)^q(-5z)^r$$

ただし、$p+q+r=6$ を満たす。

$x^2y^3z$ の係数を求めるので、$p=2, q=3, r=1$ である。

したがって、係数は

$$\frac{6!}{2!3!1!}(2)^2(-1)^3(-5)^1 = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)(1)} (4)(-1)(-5) = 60 \times 20 = 1200$$

ただし、$(-1)^3 = -1$ であることに注意する。

(2) 多項定理より、$(a+b+c+d)^8$ の展開式における一般項は

$$\frac{8!}{p!q!r!s!}a^pb^qc^rd^s$$

ただし、$p+q+r+s=8$ を満たす。

$a^3bc^2d^2$ の係数を求めるので、$p=3, q=1, r=2, s=2$ である。

したがって、係数は

$$\frac{8!}{3!1!2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 6}{6 \times 4} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 56 \times 30 = 1680$$

3. 最終的な答え

(1) $1200$

(2) $1680$