(1) 恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$ を証明せよ。 (2) (1)の等式を利用して、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$ を証明せよ。

(2) (1)の等式を利用して、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 恒等式の証明

右辺を計算して左辺になることを示す。

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{(2k+1) - (2k-1)}{(2k-1)(2k+1)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{2k+1-2k+1}{(2k-1)(2k+1)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{(2k-1)(2k+1)} \right)$

$= \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

よって、右辺＝左辺となり、与えられた恒等式は正しい。

(2) 和 S の計算

(1)の恒等式を利用する。$k=1$ から $k=n$ まで足し合わせると、

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \dots + \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \right]$

これは、隣り合う項が打ち消し合う、いわゆる「telescoping sum」（望遠鏡和）である。

$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1 - 1}{2n+1} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{2n+1} \right) = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

(1) 恒等式は証明された。

(2) $S = \frac{n}{2n+1}$