集合 $A = \{2, 4, 3a-1\}$ と集合 $B = \{-4, a+3, a^2-2a+2\}$ の共通部分が $A \cap B = \{2, 5\}$ であるとき、$a$ の値と和集合 $A \cup B$ を求めよ。

1. 問題の内容

集合 $A = \{2, 4, 3a-1\}$ と集合 $B = \{-4, a+3, a^2-2a+2\}$ の共通部分が $A \cap B = \{2, 5\}$ であるとき、$a$ の値と和集合 $A \cup B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B = \{2, 5\}$ であることから、集合 $A$ と $B$ の両方に 2 と 5 が含まれている必要がある。集合 $A$ には 2 が含まれているので、残りの要素である $3a-1$ が 5 または 2 でなければならない。

- $3a - 1 = 5$ のとき、$3a = 6$ より $a = 2$

- $3a - 1 = 2$ のとき、$3a = 3$ より $a = 1$

次に、集合 $B$ に 2 と 5 が含まれているか確認する。

- $a = 2$ のとき、$B = \{-4, 2+3, 2^2 - 2\cdot2 + 2\} = \{-4, 5, 2\}$

- $a = 1$ のとき、$B = \{-4, 1+3, 1^2 - 2\cdot1 + 2\} = \{-4, 4, 1\}$

$A \cap B = \{2, 5\}$ であるためには、$a=2$ である必要がある。なぜなら、$a=1$ のとき集合 $B$ に 2 も 5 も含まれていないからである。

$a = 2$ のとき、$A = \{2, 4, 3(2)-1\} = \{2, 4, 5\}$ であり、$B = \{-4, 2+3, 2^2 - 2(2) + 2\} = \{-4, 5, 2\}$。

したがって、$A \cup B = \{2, 4, 5, -4\}$ となる。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$A \cup B = \{-4, 2, 4, 5\}$