$y = \cos x$（$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$）, $x$軸, $x = \frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる回転体の体積$V$を求める。

1. 問題の内容

$y = \cos x$（$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}$）, $x$軸, $x = \frac{\pi}{4}$で囲まれた部分を$x$軸の周りに1回転してできる回転体の体積$V$を求める。

2. 解き方の手順

回転体の体積は、積分を用いて求めることができます。

$y=f(x)$（$a \le x \le b$）を$x$軸の周りに回転してできる回転体の体積$V$は、

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

で与えられます。

この問題では、$f(x) = \cos x$、$a = \frac{\pi}{4}$、$b = \frac{\pi}{2}$なので、

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を用いると、

$V = \pi \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) dx$

$V = \frac{\pi}{2} [x + \frac{1}{2} \sin 2x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} [(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \pi) - (\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2})]$

$V = \frac{\pi}{2} [(\frac{\pi}{2} + 0) - (\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2})] = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}] = \frac{\pi}{2} [\frac{\pi - 2}{4}] = \frac{\pi(\pi - 2)}{8} = \frac{\pi^2 - 2\pi}{8}$

$V = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi}{4}$

したがって、

$\frac{\pi^2}{8}$ - $\frac{\pi}{4}$となり、空欄(a)は-となる。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi^2}{8}$

(a) -

(2) $\frac{\pi}{4}$