与えられた2変数多項式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 + 3x + 4y + 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数多項式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 + 3x + 4y + 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$についての2次式として整理します。

$2x^2 + (5y+3)x + (3y^2+4y+1)$

次に、定数項である $3y^2+4y+1$ を因数分解します。

$3y^2+4y+1 = (3y+1)(y+1)$

したがって、元の式は

$2x^2 + (5y+3)x + (3y+1)(y+1)$

と書けます。

この式を$(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形に因数分解できると仮定します。$x^2$の係数から、$a \times d = 2$、$y^2$の係数から、$b \times e = 3$、定数項から、$c \times f = 1$となるようにします。

$(2x + y + 1)(x + 3y + 1)$ を展開すると、

$2x^2 + 6xy + 2x + xy + 3y^2 + y + x + 3y + 1 = 2x^2 + 7xy + 3x + 3y^2 + 4y + 1$となり、これは元の式とは異なります。

$(2x + 3y + 1)(x + y + 1)$ を展開すると、

$2x^2 + 2xy + 2x + 3xy + 3y^2 + 3y + x + y + 1 = 2x^2 + 5xy + 3x + 3y^2 + 4y + 1$となり、これは元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(2x+3y+1)(x+y+1)$