与えられた式 $x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ について整理します。

$x^2 + 2ax - 3a^2 + 4x + 8a + 3 = x^2 + (2a+4)x + (-3a^2 + 8a + 3)$

次に、定数項 $-3a^2 + 8a + 3$ を因数分解します。

$-3a^2 + 8a + 3 = -(3a^2 - 8a - 3) = -(3a+1)(a-3) = (3a+1)(3-a)$

したがって、式は次のようになります。

$x^2 + (2a+4)x + (3a+1)(3-a)$

ここで、この式が $(x + A)(x + B)$ の形に因数分解できると仮定します。このとき、$A+B = 2a+4$ かつ $AB = (3a+1)(3-a)$ でなければなりません。

$A=3a+1$, $B=3-a$ とすると、

$A+B = (3a+1) + (3-a) = 2a + 4$

$AB = (3a+1)(3-a) = -3a^2 + 9a - a + 3 = -3a^2 + 8a + 3$

したがって、与えられた式は以下のように因数分解できます。

$x^2 + (2a+4)x + (3a+1)(3-a) = (x + (3a+1))(x + (3-a)) = (x + 3a + 1)(x - a + 3)$

3. 最終的な答え

$(x+3a+1)(x-a+3)$