与えられた式 $a^2b + 2a^2c - bc^2 - 2ac^2$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b + 2a^2c - bc^2 - 2ac^2$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を整理して、共通因数でくくり出せる部分を探します。

$a$ に関して整理することを考えます。

$a^2$ の項をまとめると、

$a^2b + 2a^2c = a^2(b+2c)$

残りの項をまとめると、

$-bc^2 - 2ac^2 = -c^2(b+2a)$

与えられた式は、

$a^2b + 2a^2c - bc^2 - 2ac^2 = a^2(b+2c) - c^2(b+2a)$

これでは共通因数が見つからないので、別の方法を試します。

与えられた式を $c$ について整理すると、

$2a^2c - 2ac^2 = 2c(a^2 - ac)$

$-bc^2 = -bc^2$

与えられた式は、

$a^2b + 2a^2c - bc^2 - 2ac^2 = a^2b + 2a^2c - bc^2 - 2ac^2$

$= a^2(b+2c) - c^2(b+2a)$

式を並び替えて整理することを試みます。

$a^2b - bc^2 + 2a^2c - 2ac^2 = b(a^2 - c^2) + 2ac(a - c)$

$= b(a+c)(a-c) + 2ac(a-c) = (a-c)(b(a+c) + 2ac)$

$= (a-c)(ab + bc + 2ac)$

3. 最終的な答え

$(a-c)(ab + bc + 2ac)$