与えられた楕円の概形を描き、焦点、長軸の長さを求める問題です。ここでは、問題 (2) の $\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$ と問題 (3) の $x^2 + 16y^2 = 16$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた楕円の概形を描き、焦点、長軸の長さを求める問題です。ここでは、問題 (2) の $\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$ と問題 (3) の $x^2 + 16y^2 = 16$ を解きます。

2. 解き方の手順

**(2) の解き方:**

まず、与えられた式を楕円の標準形に変形します。

$\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$ は $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1$ と変形できます。

ここで、$a = 3$、$b = 1$ となります。

長軸の長さは $2a$ なので、$2 \times 3 = 6$ です。

焦点の座標を求めるために、$c = \sqrt{a^2 - b^2}$ を計算します。

$c = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

よって、焦点の座標は $(\pm 2\sqrt{2}, 0)$ となります。

**(3) の解き方:**

与えられた式 $x^2 + 16y^2 = 16$ を楕円の標準形に変形します。

両辺を 16 で割ると、$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{1} = 1$ となります。

これは $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1$ と書けます。

ここで、$a = 4$、$b = 1$ となります。

長軸の長さは $2a$ なので、$2 \times 4 = 8$ です。

焦点の座標を求めるために、$c = \sqrt{a^2 - b^2}$ を計算します。

$c = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15}$

よって、焦点の座標は $(\pm \sqrt{15}, 0)$ となります。

3. 最終的な答え

**(2) の答え:**

長軸の長さ: 6

焦点: $(\pm 2\sqrt{2}, 0)$

**(3) の答え:**

長軸の長さ: 8

焦点: $(\pm \sqrt{15}, 0)$