与えられた楕円の概形を描き、焦点、長軸の長さ、短軸の長さを求める問題です。 (1) $\frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$ (2) $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{25} = 1$

1. 問題の内容

与えられた楕円の概形を描き、焦点、長軸の長さ、短軸の長さを求める問題です。

(1) $\frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$

(2) $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{25} = 1$

2. 解き方の手順

楕円の標準形 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (ただし $a > 0$, $b > 0$) において、

- $a > b$ のとき、長軸の長さは $2a$、短軸の長さは $2b$、焦点は $(\pm \sqrt{a^2 - b^2}, 0)$

- $a < b$ のとき、長軸の長さは $2b$、短軸の長さは $2a$、焦点は $(0, \pm \sqrt{b^2 - a^2})$

(1) の場合、$a = 2$, $b = 3$ なので、$a < b$ である。

- 長軸の長さ: $2b = 2 \times 3 = 6$

- 短軸の長さ: $2a = 2 \times 2 = 4$

- 焦点: $(0, \pm \sqrt{3^2 - 2^2}) = (0, \pm \sqrt{9 - 4}) = (0, \pm \sqrt{5})$

(2) の場合、$a = 1$, $b = 5$ なので、$a < b$ である。

- 長軸の長さ: $2b = 2 \times 5 = 10$

- 短軸の長さ: $2a = 2 \times 1 = 2$

- 焦点: $(0, \pm \sqrt{5^2 - 1^2}) = (0, \pm \sqrt{25 - 1}) = (0, \pm \sqrt{24}) = (0, \pm 2\sqrt{6})$

3. 最終的な答え

(1)

- 長軸の長さ: 6

- 短軸の長さ: 4

- 焦点: $(0, \pm \sqrt{5})$

(2)

- 長軸の長さ: 10

- 短軸の長さ: 2

- 焦点: $(0, \pm 2\sqrt{6})$