質量100gのゴムボールが、11m/sの速さで床に衝突する。床がボールに及ぼす力の平均値が400Nであるとき、ボールが跳ね返る高さを推定する。また、衝突時の力と時間の関係を表すグラフが与えられており、力の作用時間は5.0msである。

1. 問題の内容

質量100gのゴムボールが、11m/sの速さで床に衝突する。床がボールに及ぼす力の平均値が400Nであるとき、ボールが跳ね返る高さを推定する。また、衝突時の力と時間の関係を表すグラフが与えられており、力の作用時間は5.0msである。

2. 解き方の手順

まず、力積と運動量の関係から、ボールが床から受けた力積を計算し、跳ね返る直後のボールの速度を求める。次に、運動エネルギーと位置エネルギーの保存則を用いて、ボールが到達する最高点を計算する。

(1) 力積の計算:

平均の力 $F_{avg} = 400$ Nと、力が作用する時間 $\Delta t = 5.0 \times 10^{-3}$ sから、力積 $J$ は、

$J = F_{avg} \Delta t = 400 \times 5.0 \times 10^{-3} = 2.0$ Ns

(2) 跳ね返り直後の速度の計算:

ボールの質量 $m = 100$ g = 0.1 kgとする。

衝突前のボールの速度を $v_1 = -11$ m/s (下向きを負とする)とする。

力積と運動量の関係より、$J = m(v_2 - v_1)$。ここで、$v_2$は跳ね返り直後の速度。

$v_2 = \frac{J}{m} + v_1 = \frac{2.0}{0.1} - 11 = 20 - 11 = 9$ m/s

したがって、跳ね返り直後のボールの速度は9 m/s (上向き)である。

(3) 跳ね返る高さの計算:

跳ね返り直後の運動エネルギーは $\frac{1}{2} m v_2^2$ であり、これが全て位置エネルギーに変換されると考えると、$mgh = \frac{1}{2} m v_2^2$。

高さ $h = \frac{v_2^2}{2g} = \frac{9^2}{2 \times 9.8} = \frac{81}{19.6} \approx 4.13$ m

3. 最終的な答え

ボールが跳ね返る高さは約4.13 mです。