$x > 0$のとき、不等式 $4x + \frac{1}{x} \geq 4$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$のとき、不等式 $4x + \frac{1}{x} \geq 4$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の関係を利用します。$x > 0$ なので、$4x > 0$ かつ $\frac{1}{x} > 0$ です。

相加平均・相乗平均の関係より、

$\frac{4x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{4x \cdot \frac{1}{x}}$

$4x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{4}$

$4x + \frac{1}{x} \geq 2 \cdot 2$

$4x + \frac{1}{x} \geq 4$

したがって、$4x + \frac{1}{x} \geq 4$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、$4x = \frac{1}{x}$ のときです。

$4x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{4}$

$x > 0$ より、$x = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$4x + \frac{1}{x} \geq 4$

等号が成り立つのは $x = \frac{1}{2}$ のとき。