(1) 整式 $A$ を $x^2 + x + 1$ で割ると、商が $x-1$、余りが $2x+1$ であるとき、$A$ を求める。 (2) 整式 $x^3 + x^2 - 2x + 1$ を整式 $B$ で割ると、商が $x-1$、余りが $3x-2$ であるとき、$B$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 整式 $A$ を $x^2 + x + 1$ で割ると、商が $x-1$、余りが $2x+1$ であるとき、$A$ を求める。

(2) 整式 $x^3 + x^2 - 2x + 1$ を整式 $B$ で割ると、商が $x-1$、余りが $3x-2$ であるとき、$B$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 割り算の基本式を用いる。

割られる数 = (割る数) × (商) + (余り)

$A = (x^2 + x + 1)(x-1) + (2x+1)$

$A = x^3 - x^2 + x^2 - x + x - 1 + 2x + 1$

$A = x^3 + 2x$

(2) 割り算の基本式を用いる。

$x^3 + x^2 - 2x + 1 = B(x-1) + (3x-2)$

$B(x-1) = x^3 + x^2 - 2x + 1 - (3x-2)$

$B(x-1) = x^3 + x^2 - 5x + 3$

$B = \frac{x^3 + x^2 - 5x + 3}{x-1}$

ここで、$x^3 + x^2 - 5x + 3$ を $x-1$ で割る。

筆算または組み立て除法を行う。

$x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x-1)(x^2 + 2x - 3)$

$B = \frac{(x-1)(x^2 + 2x - 3)}{x-1}$

$B = x^2 + 2x - 3$

$B = (x+3)(x-1)$

3. 最終的な答え

(1) $A = x^3 + 2x$

(2) $B = x^2 + 2x - 3$