次の二つの式を計算します。ただし、$a>0$とします。 (1) $\sqrt[4]{16a^8}$ (2) $(\sqrt[6]{a^{-2}})^3$

1. 問題の内容

次の二つの式を計算します。ただし、$a>0$とします。

(1) $\sqrt[4]{16a^8}$

(2) $(\sqrt[6]{a^{-2}})^3$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[4]{16a^8}$ について

まず、$16 = 2^4$であることに注意します。したがって、

$\sqrt[4]{16a^8} = \sqrt[4]{2^4 (a^2)^4}$

根号の中身を４乗の形で表すことができました。

ここで、$a>0$より$a^2>0$なので、

$\sqrt[4]{2^4 (a^2)^4} = 2a^2$

(2) $(\sqrt[6]{a^{-2}})^3$ について

まず、$a^{-2} = \frac{1}{a^2}$なので、

$(\sqrt[6]{a^{-2}})^3 = (\sqrt[6]{\frac{1}{a^2}})^3$

$\sqrt[6]{\frac{1}{a^2}} = (\frac{1}{a^2})^{\frac{1}{6}} = (\frac{1}{a})^{\frac{2}{6}} = (\frac{1}{a})^{\frac{1}{3}}$

したがって、

$(\sqrt[6]{a^{-2}})^3 = ((\frac{1}{a})^{\frac{1}{3}})^3 = (\frac{1}{a})^{\frac{1}{3} \times 3} = (\frac{1}{a})^1 = \frac{1}{a}$

3. 最終的な答え

(1) $2a^2$

(2) $\frac{1}{a}$