2次関数 $y = x^2 + 4ax + 2a^2 - 4a - 6$ のグラフをGとし、Gとy軸との交点の座標を(0, b)とする。 (1) Gの頂点の座標を求め、$a$の値によってグラフGが原点を通るときの$a$の値を求める。また、ある$a$の値のときのGを平行移動して別の$a$の値のときのGに一致させる。 (2) $a$が変化するとき、$b$の最小値とそのときの$a$の値を求める。 (3) Gがx軸から切り取る線分の長さを$l$とし、$l$を$a$の式で表し、$l$の最小値とそのときの$a$の値を求める。 (4) Gがx軸の$x<2$の部分とのみ、x軸と共有点を持つような$a$の値の範囲を求める。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 4ax + 2a^2 - 4a - 6$ のグラフをGとし、Gとy軸との交点の座標を(0, b)とする。

(1) Gの頂点の座標を求め、$a$の値によってグラフGが原点を通るときの$a$の値を求める。また、ある$a$の値のときのGを平行移動して別の$a$の値のときのGに一致させる。

(2) $a$が変化するとき、$b$の最小値とそのときの$a$の値を求める。

(3) Gがx軸から切り取る線分の長さを$l$とし、$l$を$a$の式で表し、$l$の最小値とそのときの$a$の値を求める。

(4) Gがx軸の$x<2$の部分とのみ、x軸と共有点を持つような$a$の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、平方完成によりグラフGの頂点の座標を求める。

$y = x^2 + 4ax + 2a^2 - 4a - 6 = (x + 2a)^2 - 2a^2 - 4a - 6$

したがって、グラフGの頂点の座標は $(-2a, -2a^2 - 4a - 6)$ である。

Gが原点を通るとき、$y = x^2 + 4ax + 2a^2 - 4a - 6$に(0,0)を代入すると、

$0 = 2a^2 - 4a - 6$

$0 = a^2 - 2a - 3$

$0 = (a - 3)(a + 1)$

よって、$a = 3, -1$である。

$a=-1$の時のGの式は、$y = x^2 - 4x + 2(-1)^2 - 4(-1) - 6 = x^2 - 4x$

$a=3$の時のGの式は、$y = x^2 + 12x + 2(3)^2 - 4(3) - 6 = x^2 + 12x$

$y = x^2 - 4x$をx軸方向に4+8=8、y軸方向に-16 だけ平行移動すると、$y = x^2+12x$に一致する。

(2)

$b = 2a^2 - 4a - 6$を平方完成すると、

$b = 2(a - 1)^2 - 8$

したがって、$b$は$a = 1$のとき、最小値 $-8$をとる。

(3)

$y = x^2 + 4ax + 2a^2 - 4a - 6 = 0$ の解を求める。

解の公式より、$x = \frac{-4a \pm \sqrt{(4a)^2 - 4(2a^2 - 4a - 6)}}{2} = -2a \pm \sqrt{16a^2 - 8a^2 + 16a + 24}/2 = -2a \pm \sqrt{2a^2 + 4a + 6}$

したがって、$l = 2\sqrt{2a^2 + 4a + 6}$

$l^2 = 4(2a^2 + 4a + 6) = 8a^2 + 16a + 24 = 8(a + 1)^2 + 16$

$l = \sqrt{8(a + 1)^2 + 16}$

よって、$l$は$a = -1$のとき、最小値 $\sqrt{16} = 4$をとる。

(4)

$f(x) = x^2 + 4ax + 2a^2 - 4a - 6$とする。

$f(x) = 0$ が$x<2$の範囲でのみ解を持つ条件を考える。

頂点のx座標は $-2a$であるから、$-2a < 2$より、$a > -1$である。

また、$f(2) > 0$であれば良い。

$f(2) = 4 + 8a + 2a^2 - 4a - 6 = 2a^2 + 4a - 2 > 0$

$a^2 + 2a - 1 > 0$

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

$a < -1 - \sqrt{2}, a > -1 + \sqrt{2}$

$a > -1$と合わせて、$a > -1 + \sqrt{2}$となる。

3. 最終的な答え

(1) Gの頂点の座標は $(-2a, -2a^2 - 4a - 6)$

Gが原点を通るとき、$a = 3, -1$

平行移動はx軸方向に8、y軸方向に-16

(2) $b$の最小値は $-8$、そのとき$a = 1$

(3) $l = 2\sqrt{2a^2 + 4a + 6}$

$l$の最小値は$4$、そのとき$a = -1$

(4) $a > -1 + \sqrt{2}$