放物線 $y = ax^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したところ、放物線 $y = -2x^2 + 3x - 1$ になった。定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したところ、放物線 $y = -2x^2 + 3x - 1$ になった。定数 $a$, $b$, $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = ax^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $1$, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

$x$ 軸方向に $1$ だけ平行移動すると、$x$ は $x - 1$ に置き換わる。$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動すると、$y$ は $y + 2$ に置き換わる。したがって、移動後の放物線の方程式は、

$y + 2 = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c$

となる。整理すると、

$y = a(x^2 - 2x + 1) + b(x - 1) + c - 2$

$y = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c - 2$

$y = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c - 2)$

これが、$y = -2x^2 + 3x - 1$ と一致するので、各項の係数を比較すると、

$a = -2$

$-2a + b = 3$

$a - b + c - 2 = -1$

となる。$a = -2$ を $-2a + b = 3$ に代入すると、

$-2(-2) + b = 3$

$4 + b = 3$

$b = -1$

となる。次に、$a = -2$, $b = -1$ を $a - b + c - 2 = -1$ に代入すると、

$-2 - (-1) + c - 2 = -1$

$-2 + 1 + c - 2 = -1$

$-3 + c = -1$

$c = 2$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = -1$

$c = 2$