次の3つの方程式の整数解を全て求めます。 (1) $2x + 5y = 1$ (2) $3x - 7y = 1$ (3) $17x + 5y = 1$

1. 問題の内容

次の3つの方程式の整数解を全て求めます。

(1) $2x + 5y = 1$

(2) $3x - 7y = 1$

(3) $17x + 5y = 1$

2. 解き方の手順

(1) $2x + 5y = 1$

まず、特殊解を求めます。例えば、$x = 3, y = -1$ はこの方程式を満たします。つまり、

$2(3) + 5(-1) = 1$

次に、与えられた式と特殊解の式を引き算します。

$2x + 5y - (2(3) + 5(-1)) = 1 - 1$

$2(x - 3) + 5(y + 1) = 0$

$2(x - 3) = -5(y + 1)$

2と5は互いに素なので、$x-3$は5の倍数である必要があります。

$x - 3 = 5k$ (kは整数)

$x = 5k + 3$

これを代入すると、

$2(5k) = -5(y + 1)$

$2k = -(y + 1)$

$y = -2k - 1$

したがって、一般解は $x = 5k + 3, y = -2k - 1$ となります。

(2) $3x - 7y = 1$

まず、特殊解を求めます。例えば、$x = 5, y = 2$ はこの方程式を満たします。つまり、

$3(5) - 7(2) = 1$

次に、与えられた式と特殊解の式を引き算します。

$3x - 7y - (3(5) - 7(2)) = 1 - 1$

$3(x - 5) - 7(y - 2) = 0$

$3(x - 5) = 7(y - 2)$

3と7は互いに素なので、$x - 5$は7の倍数である必要があります。

$x - 5 = 7k$ (kは整数)

$x = 7k + 5$

これを代入すると、

$3(7k) = 7(y - 2)$

$3k = y - 2$

$y = 3k + 2$

したがって、一般解は $x = 7k + 5, y = 3k + 2$ となります。

(3) $17x + 5y = 1$

まず、特殊解を求めます。例えば、$x = -2, y = 7$ はこの方程式を満たします。つまり、

$17(-2) + 5(7) = 1$

次に、与えられた式と特殊解の式を引き算します。

$17x + 5y - (17(-2) + 5(7)) = 1 - 1$

$17(x + 2) + 5(y - 7) = 0$

$17(x + 2) = -5(y - 7)$

17と5は互いに素なので、$x + 2$は5の倍数である必要があります。

$x + 2 = 5k$ (kは整数)

$x = 5k - 2$

これを代入すると、

$17(5k) = -5(y - 7)$

$17k = -(y - 7)$

$y = -17k + 7$

したがって、一般解は $x = 5k - 2, y = -17k + 7$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 5k + 3, y = -2k - 1$ (kは整数)

(2) $x = 7k + 5, y = 3k + 2$ (kは整数)

(3) $x = 5k - 2, y = -17k + 7$ (kは整数)