$0 \leq x \leq 20$、 $0 \leq y \leq 20$ を満たす整数 $x, y$ について、方程式 $7x - 5y = 1$ の整数解をすべて求める。

1. 問題の内容

$0 \leq x \leq 20$、 $0 \leq y \leq 20$ を満たす整数 $x, y$ について、方程式 $7x - 5y = 1$ の整数解をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、特殊解を見つけます。方程式 $7x - 5y = 1$ の一つの解は $(x, y) = (3, 4)$ です。

$7(3) - 5(4) = 21 - 20 = 1$

次に、一般解を求めます。

$7x - 5y = 1$ と $7(3) - 5(4) = 1$ の差をとると、

$7(x-3) - 5(y-4) = 0$

$7(x-3) = 5(y-4)$

7と5は互いに素なので、$x-3$ は 5 の倍数であり、$y-4$ は 7 の倍数である必要があります。

したがって、$x - 3 = 5k$ および $y - 4 = 7k$ (ただし $k$ は整数) と書けます。

これより、$x = 5k + 3$ および $y = 7k + 4$

これが一般解です。

次に、 $0 \leq x \leq 20$ および $0 \leq y \leq 20$ を満たす $k$ の範囲を求めます。

$0 \leq 5k + 3 \leq 20$

$-3 \leq 5k \leq 17$

$-3/5 \leq k \leq 17/5$

$-0.6 \leq k \leq 3.4$

$k$ は整数なので、$k = 0, 1, 2, 3$

$0 \leq 7k + 4 \leq 20$

$-4 \leq 7k \leq 16$

$-4/7 \leq k \leq 16/7$

$-0.57 \leq k \leq 2.28$

$k$ は整数なので、$k = 0, 1, 2$

両方の条件を満たす $k$ は $k = 0, 1, 2$

$k = 0$ のとき、 $x = 5(0) + 3 = 3$、 $y = 7(0) + 4 = 4$

$k = 1$ のとき、 $x = 5(1) + 3 = 8$、 $y = 7(1) + 4 = 11$

$k = 2$ のとき、 $x = 5(2) + 3 = 13$、 $y = 7(2) + 4 = 18$

3. 最終的な答え

$(x, y) = (3, 4), (8, 11), (13, 18)$