問題4.1: $n$次正方行列 $A$ について、以下の命題の真偽を判定します。 1. $A$ のある行が $(0, 0, \dots, 0)$ であるならば、$A$ は正則ではない。 2. $A$ が正則でないならば、$A$ のある行は $(0, 0, \dots, 0)$ である。 問題4.2: 問題4.1において、「行」を「列」に置き換えた場合の真偽を検討します。

1. 問題の内容

問題4.1: $n$次正方行列 $A$ について、以下の命題の真偽を判定します。

1. $A$ のある行が $(0, 0, \dots, 0)$ であるならば、$A$ は正則ではない。

2. $A$ が正則でないならば、$A$ のある行は $(0, 0, \dots, 0)$ である。

問題4.2: 問題4.1において、「行」を「列」に置き換えた場合の真偽を検討します。

2. 解き方の手順

問題4.1:

1. 命題1について: $A$ のある行が $(0, 0, \dots, 0)$ であるならば、$A$ の行列式は0になります。行列式が0の行列は正則ではありません。したがって、命題1は真です。

2. 命題2について: $A$ が正則でないならば、$A$ の行列式は0になります。しかし、行列式が0であるからといって、$A$ のある行が $(0, 0, \dots, 0)$ であるとは限りません。例えば、

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

この行列は正則ではありません (行列式は0) が、すべての行が0ではありません。したがって、命題2は偽です。

問題4.2:

問題4.1と同様に考えます。

1. 「行」を「列」に置き換えた命題1: $A$ のある列が $(0, 0, \dots, 0)^T$ であるならば、$A$ は正則ではない。

$A$ のある列が $(0, 0, \dots, 0)^T$ であるならば、$A$ の行列式は0になります。行列式が0の行列は正則ではありません。したがって、この命題は真です。

2. 「行」を「列」に置き換えた命題2: $A$ が正則でないならば、$A$ のある列は $(0, 0, \dots, 0)^T$ である。

$A$ が正則でないならば、$A$ の行列式は0になります。しかし、行列式が0であるからといって、$A$ のある列が $(0, 0, \dots, 0)^T$ であるとは限りません。例えば、

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

この行列は正則ではありません (行列式は0) が、すべての列が0ではありません。したがって、この命題は偽です。

3. 最終的な答え

問題4.1:

1. 真

2. 偽

問題4.2:

1. 真

2. 偽