問題は2つあります。 最初の問題は、要素を列挙して表現された集合を、別の方法で表現するというものです。 (1) $A = \{0, 4, 8, 12, 16, 20\}$ (2) $B = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$ 2番目の問題は、全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ と、部分集合 $A = \{3, 4, 5, 7, 8\}$、$B = \{1, 2, 5, 6, 9\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めるというものです。 (1) $A \cap B$ (2) $\overline{A}$ (3) $\overline{B}$ (4) $A \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

問題は2つあります。

最初の問題は、要素を列挙して表現された集合を、別の方法で表現するというものです。

(1) $A = \{0, 4, 8, 12, 16, 20\}$

(2) $B = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$

2番目の問題は、全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ と、部分集合 $A = \{3, 4, 5, 7, 8\}$、$B = \{1, 2, 5, 6, 9\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めるというものです。

(1) $A \cap B$

(2) $\overline{A}$

(3) $\overline{B}$

(4) $A \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

1. (1) 集合 $A$ の要素は全て4の倍数なので、$A = \{x \mid x = 4n, n \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\}$ と表現できます。

(2) 集合 $B$ の要素は全て45の約数なので、$B = \{x \mid x は45の約数で奇数\}$と表現できます。

2. (1) $A \cap B$ は、集合 $A$ と集合 $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

$A \cap B = \{3, 4, 5, 7, 8\} \cap \{1, 2, 5, 6, 9\} = \{5\}$

(2) $\overline{A}$ は、全体集合 $U$ の要素のうち、集合 $A$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{3, 4, 5, 7, 8\} = \{1, 2, 6, 9\}$

(3) $\overline{B}$ は、全体集合 $U$ の要素のうち、集合 $B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 2, 5, 6, 9\} = \{3, 4, 7, 8\}$

(4) $A \cup \overline{B}$ は、集合 $A$ と集合 $\overline{B}$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合です。

$A \cup \overline{B} = \{3, 4, 5, 7, 8\} \cup \{3, 4, 7, 8\} = \{3, 4, 5, 7, 8\}$

3. 最終的な答え

1. (1) $A = \{x \mid x = 4n, n \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\}$

(2) $B = \{x \mid x は45の約数で奇数\}$

2. (1) $A \cap B = \{5\}$

(2) $\overline{A} = \{1, 2, 6, 9\}$

(3) $\overline{B} = \{3, 4, 7, 8\}$

(4) $A \cup \overline{B} = \{3, 4, 5, 7, 8\}$