二次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ の定義域 $4 \le x \le 6$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

二次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ の定義域 $4 \le x \le 6$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x-1)^2 + 1$

この式から、この二次関数の頂点は $(1, 1)$ であることがわかります。また、下に凸の放物線です。

定義域 $4 \le x \le 6$ において、軸 $x=1$ は定義域に含まれていません。したがって、定義域の端点で最大値または最小値をとります。

$x=4$ のとき $y = (4-1)^2 + 1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

$x=6$ のとき $y = (6-1)^2 + 1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$

したがって、定義域 $4 \le x \le 6$ における最大値は $26$ ($x=6$ のとき)、最小値は $10$ ($x=4$ のとき) となります。

3. 最終的な答え

最大値：26 ($x = 6$ のとき)

最小値：10 ($x = 4$ のとき)